Zielformeln:

$$v=\sqrt{\frac{GM}{r}},T=\frac{2\pi r}{v},r_{\text{geo}}=\sqrt[3]{\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}$$

Gültigkeitsbereich/Annahmen: Kreisbahn ($r=\text{konst.}$); Satellitenmasse klein gegen den Zentralkörper ($m\ll M$, Zentralkörper ruht); Luftwiderstand und Störungen anderer Himmelskörper vernachlässigt; $r$ wird vom Erdmittelpunkt aus gemessen (= Erdradius + Flughöhe).

★ Maturarelevant: Die Herleitung des Bahnradius des geostationären Satelliten ist eine belegte echte Prüfungsfrage.

Verwendete Formeln

Formel	Name	Formelnheft
$F_Z={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}=m{\omega }^{2}r$	Zentripetalkraft	✅ S. 2 („Zentripetalkraft")
$F=G{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{r^2}}$	Gravitationsgesetz	✅ S. 2 („Gravitationsgesetz")
$v=\omega \cdot r$	Bahngeschwindigkeit	✅ S. 2 („Bahngeschwindigkeit")
$\omega ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t}}=2\pi f$	Winkelgeschwindigkeit	✅ S. 2 („Winkelgeschwindigkeit")
$f={\displaystyle \frac{1}{T}}$	Frequenz/Schwingungsdauer	✅ S. 2 („Frequenz/Schwingungsdauer"; zusammen mit $\omega =2\pi f$ derselben Seite)
$\overline{v}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}}$	Durchschnittsgeschwindigkeit — für $T=2\pi r/v$	✅ S. 2 („Durchschnittsgeschwindigkeit")
$v=\sqrt{GM/r}$, $r_{\text{geo}}=\sqrt[3]{GM{T}^2/4{\pi }^2}$	Bahngeschwindigkeit / geostationärer Radius	❌ nicht im Formelnheft — bei der Prüfung aus $F_Z=F_G$ selbst herleiten (siehe unten)

Herleitung (Schritt für Schritt)

A) Kreisbahngeschwindigkeit $v=\sqrt{GM/r}$

1. Physikalischer Ausgangspunkt. Für die Kreisbahn braucht der Satellit eine Zentripetalkraft (H04); die einzige nach innen ziehende Kraft ist hier die Gravitation — sie übernimmt die Rolle der Zentripetalkraft:$$F_Z=F_G$$
2. Beide Formeln einsetzen (beide Formelnheft S. 2): links $F_Z={\displaystyle \frac{m{v}^2}{r}}$, rechts $F_G=G{\displaystyle \frac{Mm}{r^2}}$:$$\frac{m{v}^2}{r}=G\cdot \frac{Mm}{r^2}$$
3. Satellitenmasse $m$ kürzen (beide Seiten durch $m$, erlaubt wegen $m>0$):$$\frac{v^2}{r}=G\cdot \frac{M}{r^2}$$Der entscheidende Schritt: Die Bahngeschwindigkeit ist unabhängig von der Satellitenmasse — Feder und Lastwagen fliegen auf derselben Bahn gleich schnell (Eisenhower-Frage: Aus den Bahndaten lässt sich die Masse nicht berechnen).
4. Beide Seiten mal $r$ (rechts kürzt sich ein $r$: $\frac{r}{r^2}=\frac{1}{r}$):$$v^2=\frac{GM}{r}$$
5. Wurzel ziehen (positive Wurzel, Geschwindigkeitsbetrag $\ge 0$):$$\boxed{{\displaystyle v=\sqrt{\frac{GM}{r}}}}$$„Je höher, desto langsamer": $r$ steht im Nenner ⇒ größeres $r$ bedeutet kleineres $v$.

B) Umlaufzeit $T=2\pi r/v$

1. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist der Betrag konstant: $\overline{v}=\mathrm{\Delta }s/\mathrm{\Delta }t$ mit $\overline{v}=v$.
2. Ein voller Umlauf: $\Delta s = $ Bahnumfang $U=2\pi r$ (Kreisumfangsformel), $\mathrm{\Delta }t=T$:$$v=\frac{2\pi r}{T}⟹\boxed{{\displaystyle T=\frac{2\pi r}{v}}}$$

C) Rechenbeispiel ISS (unabhängig nachgerechnet)

$R_E=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6$ m (S. 1), Höhe $h=400$ km ⇒ $r\approx 6,77\cdot {10}^6$ m; $M_E=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg, $G=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}$ N·m²/kg² (beide S. 1):

$$v=\sqrt{\frac{\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}}{6,77\cdot {10}^6}}=\sqrt{5,89\cdot {10}^7}\approx 7670\text{m/s}\approx 7,7\text{km/s}✓$$$$T=\frac{2\pi \cdot 6,77\cdot {10}^6}{7670}\approx 5540\text{s}\approx 92\text{min}✓$$

(Stimmt mit dem Skript überein. Für eine bodennahe Bahn $r=R_E$ ergibt sich $v\approx 7,9$ km/s — die erste kosmische Geschwindigkeit.)

D) ★ Geostationärer Satellit $r_{\text{geo}}=\sqrt[3]{GM{T}^2/4{\pi }^2}$

Idee: Gegeben ist hier nicht $v$, sondern die Umlaufzeit $T$ (ein Sterntag — der Satellit muss synchron zur Erdrotation laufen). Also $v$ durch $T$ ausdrücken und nach $r$ auflösen.

1. Ausgangspunkt wie A, Schritt 4 (Ergebnis von „Gravitation übernimmt die Zentripetalkraft"):$$v^2=\frac{GM}{r}$$
2. $v$ durch die Winkelgeschwindigkeit ersetzen ($v=\omega r$, S. 2; also $v^2={\omega }^2{r}^2$):$${\omega }^2{r}^2=\frac{GM}{r}$$
3. Beide Seiten mal $r$ (rechts verschwindet das $r$, links kombinieren sich die Potenzen zu $r^3$):$${\omega }^2{r}^3=GM$$
4. $\omega$ durch $T$ ausdrücken. Ein voller Umlauf = Winkel $2\pi$ in der Zeit $T$: $\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}$ (aus $\omega =2\pi f$ und $f=1/T$, beide im Heft). Quadrieren und einsetzen:$$\frac{4{\pi }^2}{T^2}\cdot r^3=GM$$
5. Nach $r^3$ auflösen (beide Seiten mal ${\displaystyle \frac{T^2}{4{\pi }^2}}$):$$r^3=\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}$$
6. Dritte Wurzel ziehen:$$\boxed{{\displaystyle r_{\text{geo}}=\sqrt[3]{\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}}}}$$
7. Rechenbeispiel (unabhängig nachgerechnet). $T=24\cdot 3600=86400$ s (Näherung mit vollen 24 h; der exakte Sterntag $86164$ s ändert das Ergebnis nur um ca. 80 km):$$r=\sqrt[3]{\frac{\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}\cdot 86{400}^2}{4{\pi }^2}}=\sqrt[3]{7,54\cdot {10}^{22}}\approx 4,22\cdot {10}^7\text{m}\approx 42200\text{km}✓$$Höhe über dem Boden: $h=r-R_E\approx 42200-6371\approx 35800$ km ✓. Nebenbei: $v=2\pi r/T\approx 3,1$ km/s — deutlich langsamer als die ISS mit $7,7$ km/s, erneut „je höher, desto langsamer". Prüfungsfalle: $T$ unbedingt in Sekunden umrechnen! Die beiden weiteren Bedingungen: Bahn über dem Äquator (die Bahnebene muss durch den Erdmittelpunkt gehen), Umlauf in Rotationsrichtung der Erde.

Variablentabelle

Symbol	Bedeutung	SI-Einheit
$v$	Bahngeschwindigkeit	m/s
$r$, $r_{\text{geo}}$	Bahnradius (vom Erdmittelpunkt); geostationärer Radius	m
$m$	Satellitenmasse (kürzt sich)	kg
$M$, $M_E$	Masse des Zentralkörpers; Erdmasse $=\mathrm{5,974}\cdot {10}^{24}$ kg (Formelnheft S. 1)	kg
$G$	Gravitationskonstante $=\mathrm{6,673}\cdot {10}^{-11}$ N·m²/kg² (S. 1; das Skript rechnet teils mit $\mathrm{6,674}$)	N·m²/kg²
$R_E$	Erdradius $=\mathrm{6,371}\cdot {10}^6$ m (S. 1)	m
$F_Z$, $F_G$	Zentripetalkraft; Gravitationskraft	N
$T$	Umlaufzeit (geostationär: 1 Sterntag $\approx 86164$ s, meist mit $86400$ s genähert)	s
$\omega$	Winkelgeschwindigkeit $=2\pi /T$	rad/s
$f$	Frequenz $=1/T$	Hz
$U$	Bahnumfang $=2\pi r$	m
$h$	Höhe über dem Boden $=r-R_E$	m

Verknüpfungen

• Herleitung der verwendeten Zentripetalkraft → H04
• $\sqrt{2}$-Beziehung zwischen $v_{\text{Kreis}}$ und Fluchtgeschwindigkeit, Bahnenergie → H06
• Skript: Thema 2 §2.2 (Schritt-für-Schritt + ISS), Thema 2 §2.3 (geostationäre Bahn), Thema 11 §11.1 (Gravitationsgesetz), Thema 8 §8.7 (Muster $F_Z=F_{\text{Kraft}}$)